Question

若抛物线C：y=ax²+bx+3与抛物线C′：y=-x²+3x+2的两个交点关于原点对称，则下列一次函数的图象不经过点P（a，b）的是（　　）

• A、y=2x+6
• B、y=-2x+6
• C、y=-2x
• D、y=4x+9

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换,一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：设两交点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），因为抛物线的交点和关于原点对称，则x₁+x₂=0，y₁+y₂=0，构造方程组即可得到（a+1）x²+（b-3）x+1=0，由x₁+x₂=0，求出b的值，再求出a的值．然后把点P代入选项中的解析式进行一一验证即可．

解答：解：由题可得：ax²+bx+3=-x²+3x+2，
（a+1）x²+（b-3）x+1=0．
∵两交点关于原点对称，那么两个横坐标的值互为相反数；两个纵坐标的值也互为相反数．
则两根之和为：-

b-3

a+1

=0，两根之积为

1

a+1

＜0（关于原点对称的点的横坐标、纵坐标分别互为相反数），
解得b=3，a＜-1．
设两个交点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
这两个根都适合第二个函数解析式，
代入第二个函数解析式得：y₁=-x₁²+3x₁+2，y₂=-x₂²+3x₂+2
那么y₁+y₂=-（x₁²+x₂²）+3 （x₁+x₂）+4=0，
∵x₁+x₂=0，
∴y₁+y₂=-（x₁+x₂）²+2x₁x₂+4=0，
解得x₁x₂=-2，
代入两根之积得

1

a+1

=-2，
解得a=-

3

2

，
故a=-

3

2

，b=3．
即P（-

3

2

，3）．
A、当x=-

3

2

时，y=2×（-

3

2

）+6=3，即点P（-

3

2

，3）在函数y=2x+6的图象上．故本选项不符合题意；
B、当x=-

3

2

时，y=-2×（-

3

2

）+6=9，即点P（-

3

2

，3）不在函数y=2x+6的图象上．故本选项符合题意；
C、当x=-

3

2

时，y=-2×（-

3

2

）=3，即点P（-

3

2

，3）在函数y=-2x的图象上．故本选项不符合题意；
D、当x=-

3

2

时，y=4×（-

3

2

）+9=3，即点P（-

3

2

，3）在函数y=4x+9的图象上．故本选项不符合题意；
故选：B．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，根与系数的关系等知识点，解此题的关键是构造方程组得到两根之和和两根之积，进一步求出a、b的值．此题难度较大，综合性强．