Question

4．如图，已知点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点．
（1）若BP=BC，则∠BPC的度数是67.5°，∠ACP的度数是22.5°．
（2）若CP平分∠ACD，正方形ABCD的边长为1，则DP=$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得到∠DBC=∠BCA=45°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BCP=∠BPC=67.5°，从而求得∠ACP的度数；
（2）作PE⊥BD，交CD于E，证明△PDE是等腰直角三角形，得出DP=EP，设DP=PE=x，则DE=$\sqrt{2}$x，再证出EP=EC=x，列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠BCA=∠BDC=∠ACD=45°，
∵BP=BC，
∴∠BCP=∠BPC=（180°-45°）÷2=67.5°，
∴∠ACP=∠BCP-∠BCA=67.5°-45°=22.5°；
故答案为：67.5°，22.5°．
（2）作PE⊥BD，交CD于E，如图所示：
则∠DPE=90°，
∵∠BDC=45°，
∴∠PED=45°=∠BDC，
∴DP=EP，
设DP=PE=x，则DE=$\sqrt{2}$x，
∵CP平分∠ACD，∠ACD=45°，
∴∠ECP=22.5°，
∵∠PED=∠ECP+∠EPC，
∴∠EPC=22.5°=∠ECP，
∴EP=EC=x，
∵CD=1，
∴$\sqrt{2}$x+x=1，
解得：x=$\sqrt{2}$-1，
即DP=$\sqrt{2}$-1．
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 此题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线证出DP=EP=EC是解决问题（2）的关键．