Question

11．已知，m，n是一元二次方程x²+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x²+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；
（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为$\sqrt{2}$个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可．

解答 解（1）∵x²+4x+3=0，
∴x₁=-1，x₂=-3，
∵m，n是一元二次方程x²+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，
∴m=-1，n=-3，
∵抛物线y=x²+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-_²x-3，
（2）令y=0，则x²-_²x-3=0，
∴x₁=-1，x₂=3，
∴C（3，0），
∵y=x²-_²x-3=（x-1）²-4，
∴顶点坐标D（1，-4），
过点D作DE⊥y轴，
∵OB=OC=3，
∴BE=DE=1，
∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠DBE=45°，
∴∠CBD=90°，
∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，

∵B（0，-3），C（3，0），
∴直线BC解析式为y=x-3，
∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，
∴点M的横坐标为t，
∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，
∴P（t，t-3），M（t，t²-2t-3），
过点Q作QF⊥PM，
∴△PQF是等腰直角三角形，
∵PQ=$\sqrt{2}$，
∴QF=1，
当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，
PM=t-3-（t²-2t-3）=-t²+3t，
∴S=$\frac{1}{2}$PM×QF=$\frac{1}{2}$（-t²-3t）=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t，
如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，
PM=t²-2t-3-（t-3），
∴S=$\frac{1}{2}$PM×QF=$\frac{1}{2}$（t²-3t）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和判定，解本题的关键是判定△BCD是直角三角形．