Question

6．如图，等腰直角三角形ABC的一直角边AB在直线L上，将该三角形绕着顶点B顺时针方向旋转，至边BC落在直线L上，再绕顶点C顺时针旋转至边CA落在直线L上，若AB=1，则顶点A的运动轨迹与直线L围成的图形的面积是π+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 在等腰直角三角形ABC中，AB=1，根据勾股定理得到AC的长为$\sqrt{2}$，求出∠BC₁C=∠BCA、∠A₁C₁C，顶点A运动到点A₁的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是两个扇形的面积+△BCC₁的面积．根据扇形的面积公式可以进行计算．

解答 解：如图，

在等腰直角三角形ABC中，∵AB=1，
∴AC=$\sqrt{2}$，∠BCA=45°，
由旋转性质可知，CC₁=AC=$\sqrt{2}$，∠BC₁C=∠BCA=45°
∴∠A₁C₁C=135°，
则S=$\frac{90π•{1}^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{135π•（\sqrt{2}）^{2}}{360}$
=π+$\frac{1}{2}$，
故答案为：π+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、旋转的性质的应用，本题的关键是弄清顶点A运动到点A₁的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的图形的形状．