Question

7．如图，⊙O的半径为2，点A、C在⊙O上，线段BD经过圆心O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=$\sqrt{3}$，则图中阴影部分的面积为$\frac{5}{3}$π．

Answer 1

分析 通过解直角三角形可求出∠AOB=30°，∠COD=60°，从而可求出∠AOC=150°，再通过证三角形全等找出S_阴影=S_扇形OAC，套入扇形的面积公式即可得出结论．

解答 解：在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=2，AB=1，
∴OB=$\sqrt{O{A}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，sin∠AOB=$\frac{AB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，∠AOB=30°．
同理，可得出：OD=1，∠COD=60°．
∴∠AOC=∠AOB+（180°-∠COD）=30°+180°-60°=150°．
在△AOB和△OCD中，有$\left\{\begin{array}{l}{AO=OC}\\{AB=OD}\\{BO=DC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△OCD（SSS）．
∴S_阴影=S_扇形OAC．
∴S_扇形OAC=$\frac{150}{360}$πR²=$\frac{150}{360}$π×2²=$\frac{5}{3}$π．
故答案为：$\frac{5}{3}$π．

点评 本题考查了全等三角形的判定、解直角三角以及扇形的面积公式，解题的关键是找出S_阴影=S_扇形OAC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据拆补法将不规则的图形变成规则的图形，再套用规则图形的面积公式进行计算即可．