Question

16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠BCA=∠BAD；
（2）求证：BE是⊙O的切线；
（3）求DE的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；
（2）连接BO，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；
（3）由圆周角定理求出∠ABC=90°，根据勾股定理求出AB的长，证明△BED∽△CBA，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．

解答 （1）证明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD．
∵∠BCA=∠BDA，
∴∠BCA=∠BAD．
（2）证明：连结OB，如图，
∵∠BCA=∠BDA，
又∵∠BCE=∠BAD，
∴∠BCA=∠BCE，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠BCE=∠CBO，
∴OB∥ED．                          
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO．
∴BE是⊙O的切线．    
（3）解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13．                 
∵∠BDE=∠CAB，∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{DE}{AB}$，即$\frac{12}{13}=\frac{DE}{12}$，
∴DE=$\frac{144}{13}$．

点评 本题考查了切线的判定圆内接四边形的性质、及圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的一个外角等于它的内对角、同弧所对的圆周角相等、经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线是解题的关键．