Question

10．在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=5，BC=12．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为17-$\sqrt{119}$（计算结果不取近似值）．

Answer 1

分析 找到两个极端，即AT取最大或最小值时，点M或N的位置，分别求出点M与A重合时，AT取最大值，当点N与C重合时，AT有最小值．

解答 解：如图所示：当点M与点A重合时，AT取得最大值，
由轴对称可知，AT=AB=5；
当点N与点C重合时，AT取得最小值，
过点C作CD⊥l于点D，连结CT，则四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=5，
由轴对称可知，CT=BC=12，
在Rt△CDT中，CD=5，CT=12，
则DT=$\sqrt{1{2}^{2}-{5}^{2}}$=$\sqrt{119}$，
∴AT=AD-DT=12-$\sqrt{119}$，
综上可得：线段AT长度的最大值与最小值的和为17-$\sqrt{119}$；
故答案为：17-$\sqrt{119}$．

点评 本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象容易造成错误．