Question

19．将长为1，宽为a的长方形纸片$（{\frac{1}{2}＜a＜1}）$如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形的宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正方形（称为第二次操作）；如些反复操作下去，若在第n次操作后剩下的长方形为正方形，则操作终止．
（1）第一次操作后，剩下的长方形两边长分别为a和1-a；（用含a的代数式表示）
（2）若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则求a的值，写出解答过程
（3）若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，画出图形，试求a的值．

Answer 1

分析 （1）经过第一次操作可知剩下的长方形一边长为a，另一边长为1-a；
（2）若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则第一次操作后剩下的长方形的长为宽的2倍，由此可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则第二次操作后剩下的长方形的长为宽的2倍，由此可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）第一次操作后，剩下的长方形两边长分别为a，（1-a），
故答案为：a和1-a．
（2）若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，
则a=2（1-a）或2a=1-a，
解得：a=$\frac{2}{3}$或a=$\frac{1}{3}$（舍去）．
（3）若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，如图所示，
则1-a=2（2a-1）或2（1-a）=2a-1，
解得：a=$\frac{3}{5}$或a=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据剪纸的操作找出：若第n次操作后剩下的长方形为正方形，则前一次操作后剩下的长方形的长为宽的2倍．