Question

15．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC为对角线，且∠DCA=∠B，线段AD、BC的长是方程x（x-4）+2（4-x）=0的两根，且AD＜BC，CD=3，求AB与AC的长．

Answer 1

分析 首先解方程求得AD和BC的长，然后得到△ABC∽△DCA，根据相似三角形对应边的比相等列式计算即可．

解答 解：∵线段AD、BC的长是方程x（x-4）+2（4-x）=0的两根，且AD＜BC，
∴AD=2，BC=4，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵∠DCA=∠B，
∴△ABC∽△DCA，
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AC}$，
即：$\frac{AB}{3}=\frac{AC}{2}=\frac{4}{AC}$，
解得：AB=3$\sqrt{2}$，AC=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、解一元二次方程及梯形的知识，解题的关键是能够得到相似三角形，并正确的确定对应边，难度不大．