Question

6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，其中A（2，0）C（0，4），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0，k＞0）的图象与矩形的对角线AC有公共点，并且交AB边于点E，交BC边于点F，以下结论：①直线AC的解析式为y=-2x+4；②EF∥AC；③当反比例函数图象与线段AC只有一个公共点时，k值最大，最大值为2；④△BEF面积的最小值为2．则下列选项中，正确的是（　　）

• A． ②③④
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，①成立；②由反比例函数图象上点的坐标特征求出点E、F的坐标，根据$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{8-k}{8}$，即可得出EF∥AC，②成立；③设反比例函数图象与AC的交点为D，过D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，设OM=x（0＜x＜2），则ON=4-2x，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k=-2（x-1）²+2≥2，由此可得出k的最小值，再将直线AC解析式代入反比例函数解析式整理出一元二次方程，通过解方程组即可得出此时反比例函数图象与线段AC只有一个公共点，③成立；④根据三角形的面积公式结合k的取值范围即可得出S_△BEF≥$\frac{9}{4}$，④不成立．综上即可得出结论．

解答 解：①设直线AC的解析式为y=ax+b，
将A（2，0）、B（0，4）代入y=ax+b，
$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-2x+4，①成立；
②当x=2时，y=$\frac{k}{x}$=$\frac{k}{2}$，
∴点E（2，$\frac{k}{2}$）；
当y=$\frac{k}{x}$=4时，x=$\frac{k}{4}$，
∴点F（$\frac{k}{4}$，4）．
∵四边形OABC为矩形，其中A（2，0）C（0，4），
∴点B（2，4），
∴BC=2，BA=4，BF=2-$\frac{k}{4}$=$\frac{8-k}{4}$，BE=4-$\frac{k}{2}$=$\frac{8-k}{2}$，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{8-k}{8}$，
∴EF∥AC，②成立；
③设反比例函数图象与AC的交点为D，过D作DM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，如图所示．
设OM=x（0＜x＜2），则ON=4-2x，
∴k=x（4-2x）=-2（x-1）²+2，
当x=1时，k取最大值，最大值为2．
将y=-2x+4代入y=$\frac{2}{x}$中，整理得：x²-2x+1=（x-1）²=0，
∴当反比例函数图象与线段AC只有一个公共点时，k值最大，最大值为2，③成立；
④∵S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{（8-k）^{2}}{16}$≥$\frac{9}{4}$，
∴△BEF面积的最小值为$\frac{9}{4}$，④不成立．
故选D．

点评 本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，逐一分析四条结论的正确与否是解题的关键．