题目内容
14．阅读下面材料，小明遇到这样一个问题：如图1，等边三角形ABC，高AD，点E在AC上满足AE=$\frac{1}{2}$CE，BE与AD相交于点F，在图1中是否存在与DF相等的线段？若存在，请证明．小明通过探究发现，延长AD至G，使AD=DG，连接BG，得到一对全等三角形和一对相似三角形，从而解决问题．请回答：
（1）与DF相等的线段是AF；
（2）证明小明发现的结论；
（3）参考小明的发现，解决下面问题：
如图2，△ABC中，AE=mEC，BD=nDC，求$\frac{DF}{AF}$的值．
分析 （1）直接写成DF=AF；
（2）先判断出△ADC≌△GDB，得出BG=AC，再判断出△AEF∽△GBF得出比例式化简即可得出结论；
（3）类似于（2）方法，过点B作BG∥AC，得出△ACD∽△GBD即可得出BG=nAC，DG=nAD，进而得出FG=nAF+（n+1）DF，再用△BFG∽△EFA，得出比例式，最后代换即可得出结论．
解答 解：（1）故答案为：AF；
（2）如图1，
延长AD至G，使AD=DG，连接BG，
∵AD是等边三角形ABC的边BC上的高，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DG}\\{∠ADC=∠GDB}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△GDB，
∴BG=AC，
∠CAD=∠BGD，
∴AC∥BG，
∴△AEF∽△GBF，
∴$\frac{AE}{BG}=\frac{AF}{GF}$，
∵AE=$\frac{1}{2}$EC，
∴BG=AC=3AE，
∴$\frac{AE}{3AE}=\frac{AF}{GF}$，
∵FG=AG-AF=2AD-AF=2（AF+DF）-AF=AF+2DF，
∴$\frac{AF}{AF+2DF}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AF}{2DF}=\frac{1}{2}$，
∴DF=AF；
（3）如图（2），
过点B作BG
∥AC交AD的延长线于G，
∴△ACD∽△GBD，
∴$\frac{AC}{BG}=\frac{AD}{DG}=\frac{CD}{BD}$，
∵BD=nDC，
∴BG=nAC，DG=nAD=n（AF+DF），
∵AE=mEC，
∴AC=AE+EC=（m+1）EC，
∴FG=DG+DF=n（AF+DF）+DF=nAF+（n+1）DF，
∵BG∥AC，
∴△BFG∽△EFA，
∴$\frac{FG}{AF}=\frac{BG}{AE}$=$\frac{nAC}{AE}$=$\frac{n（m+1）EC}{mEC}$=$\frac{n（m+1）}{m}$，
∴$\frac{nAF+（n+1）DF}{AF}=\frac{n（m+1）}{m}$，
∴n+$\frac{（n+1）DF}{AF}=\frac{n（m+1）}{m}$，
∴$\frac{（n+1）DF}{AF}=\frac{n}{m}$，
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{n}{m（n+1）}$．
点评 此题是相似三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是作出辅助线，构造出相似三角形，是一道很好的中考常考题．
名校课堂系列答案
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在Rt△ABC内部作正方形D1E1F1G1，其中点D1，E1分别在AC，BC边上，边F1G1在BC上，它的面积记作S1；按同样的方法在△CD1E1内部作正方形D2E2F2G2，它的面积记作S2，S2=$\frac{8}{{3}^{4}}$，…，照此规律作下去，正方形DnEnFnGn的面积Sn=$\frac{8}{{3}^{2n}}$．| A． | 互为倒数 | B． | 互为相反数 | C． | 相等 | D． | 互为负倒数 |
如图，在△ABC中，AB=AC．
| A． | 70°或20° | B． | 55°或45° | C． | 55°或35° | D． | 55°或65° |