题目内容

19．如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线，交AC于点M，（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若∠A=40°，求∠CMB的度数．

分析 （1）利用基本作图（作线段的垂直平分线）作AB的垂直平分线，此垂直平分线与AC的交点为M点；
（2）根据垂直平分线的性质得AM=BM，则利用等腰三角形的性质得∠ABM=∠A=40°，然后根据三角形外角性质求∠CMB得度数．

解答 解：（1）如图，点M为所作；

（2）∵AB的垂直平分线交AC于M，
∴AM=BM，
∴∠ABM=∠A=40°，
∴∠CMB=∠ABM+∠A=80°．

点评 本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．

练习册系列答案
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9．如图（1），在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（3，0），将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD，构成平行四边形ABDC．
（1）请写出点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（4，2），S四边形ABDC8；
（2）点Q在y轴上，且S△QAB=S四边形ABDC，求出点Q的坐标；
（3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO，试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论．
10．如图，已知正方形ABCD、AEFG边长分别为$\sqrt{2}$cm、2cm，将正方形ABCD绕点A旋转，连接BG、DE相交于点H．
（1）判断线段BG、DE的数量关系与位置关系，并说明理由．
（2）连接FH，在正方形ABCD绕点A旋转过程中，
①线段DH的最大值是2；
②求点H经过路线的长度．
7．已知AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP．
（1）探究发现：（填空）
填空：如图1，过P作PQ∥AB，
∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB∥CD（已知）
∴PQ∥CD（平行公理的推论）
∴∠C+∠2=180°
结论：∠A+∠C+∠APC=360°；
（2）解决问题：
①如图2，延长PC至点E，AF、CF分别平分∠PAB、∠DCE，试判断∠P与∠F存在怎样的数量关系并说明理由；
②如图3，若∠APC=100°，分别作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN，则∠M的度数为140°（直接写出结果）．
14．阅读下面材料，小明遇到这样一个问题：
如图1，等边三角形ABC，高AD，点E在AC上满足AE=$\frac{1}{2}$CE，BE与AD相交于点F，在图1中是否存在与DF相等的线段？若存在，请证明．小明通过探究发现，延长AD至G，使AD=DG，连接BG，得到一对全等三角形和一对相似三角形，从而解决问题．请回答：

（1）与DF相等的线段是AF；
（2）证明小明发现的结论；
（3）参考小明的发现，解决下面问题：
如图2，△ABC中，AE=mEC，BD=nDC，求$\frac{DF}{AF}$的值．
4．如图，已知△ABC是圆内接三角形，若∠OCB=15°，则∠A=75度．
11．单项式2x2y3的次数是5．
8．如图1，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴正半轴上，且OA=2，过点B作EF∥AC交x轴于点F，交y轴于点E．
（1）求直线EF的解析式；
（2）如图2，G为直线EF上一动点，连接AG，过点C作CH∥AG交EF于点H，当∠ACH的度数为多少时，四边形ACHG是菱形，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下（即四边形ACHG是菱形），当点G在x轴上方时，AG与边BC交于点M，PQ为线段OC上一动线段，且PQ=2-$\sqrt{3}$，当四边形AMQP周长最小时，求点P的坐标．
9．如图，在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC． 
（1）已知∠B=60°，∠C=30°，求∠DAE的度数；
（2）已知∠B=3∠C，说明：∠DAE=∠C．

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