Question

3．（Ⅰ）（1）问题引入
如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠α（用α表示）；
（2）拓展研究
如图②，∠CBO=$\frac{1}{3}$∠ABC，∠BCO=$\frac{1}{3}$∠ACB，∠A=α，试求∠BOC的度数120°+$\frac{1}{3}$∠α（用α表示）
（3）归纳猜想
若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=$\frac{1}{n}$∠ABC，∠BCO=$\frac{1}{n}$∠ACB，∠A=α，则∠BOC=$\frac{{（n-1）•{{180}°}+∠α}}{n}$（用α表示）．
（Ⅱ）类比探索
（1）特例思考
如图③，∠CBO=$\frac{1}{3}$∠DBC，∠BCO=$\frac{1}{3}$∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用α表示）．
（2）一般猜想
若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=$\frac{1}{n}$∠DBC，∠BCO=$\frac{1}{n}$∠ECB，∠A=α，请猜想∠BOC=$\frac{{（n-1）•{{180}°}-∠α}}{n}$（用α表示）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（1）根据点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，即可得到∠CBO=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCO=$\frac{1}{2}$∠ACB，而∠A=α，再根据三角形内角和定理，即可得到∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠α；
（2）根据∠CBO=$\frac{1}{3}$∠ABC，∠BCO=$\frac{1}{3}$∠ACB，∠A=α，运用三角形内角和定理，即可得到∠BOC=120°+$\frac{1}{3}$∠α；
（3）根据∠CBO=$\frac{1}{n}$∠ABC，∠BCO=$\frac{1}{n}$∠ACB，∠A=α，运用三角形内角和定理，即可得到∠BOC=$\frac{{（n-1）•{{180}°}+∠α}}{n}$；
（Ⅱ）（1）根据∠CBO=$\frac{1}{3}$∠DBC，∠BCO=$\frac{1}{3}$∠ECB，∠A=α，运用三角形内角和定理可得∠BOC=180°-$\frac{1}{3}$（∠DBC+∠ECB），再根据平角的定义，即可得出∠BOC=180°-$\frac{1}{3}$[360°-（∠ABC+∠ACB）]，据此化简计算即可；
（2）根据∠CBO=$\frac{1}{n}$∠DBC，∠BCO=$\frac{1}{n}$∠ECB，∠A=α，运用三角形内角和定理可得∠BOC=180°-$\frac{1}{n}$（∠DBC+∠ECB），再根据平角的定义，即可得出∠BOC=180°-$\frac{1}{n}$[360°-（∠ABC+∠ACB）]，据此化简计算即可．

解答 解：（Ⅰ）（1）如图①，∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，
∴∠CBO=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCO=$\frac{1}{2}$∠ACB，而∠A=α，
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠α）
=180°-90°+$\frac{1}{2}$∠α
=90°+$\frac{1}{2}$∠α，
故答案为：90°+$\frac{1}{2}$∠α；

（2）如图②，∵∠CBO=$\frac{1}{3}$∠ABC，∠BCO=$\frac{1}{3}$∠ACB，∠A=α，
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{3}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{3}$（180°-∠A）
=180°-$\frac{1}{3}$（180°-∠α）
=180°-60°+$\frac{1}{3}$∠α
=120°+$\frac{1}{3}$∠α，
故答案为：120°+$\frac{1}{3}$∠α；

（3）∵∠CBO=$\frac{1}{n}$∠ABC，∠BCO=$\frac{1}{n}$∠ACB，∠A=α，
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{n}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{n}$（180°-∠A）
=180°-$\frac{1}{n}$（180°-∠α）
=180°-$\frac{1}{n}$×180°+$\frac{1}{n}$∠α
=$\frac{{（n-1）•{{180}°}+∠α}}{n}$，
故答案为：$\frac{{（n-1）•{{180}°}+∠α}}{n}$；

（Ⅱ）（1）如图③，∵∠CBO=$\frac{1}{3}$∠DBC，∠BCO=$\frac{1}{3}$∠ECB，∠A=α，
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{3}$（∠DBC+∠ECB）
=180°-$\frac{1}{3}$[360°-（∠ABC+∠ACB）]
=180°-$\frac{1}{3}$[360°-（180°-∠A）]
=180°-$\frac{1}{3}$（180°+∠α）
=180°-60°-$\frac{1}{3}$∠α
=120°-$\frac{1}{3}$∠α；

（2）∵∠CBO=$\frac{1}{n}$∠DBC，∠BCO=$\frac{1}{n}$∠ECB，∠A=α，
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{n}$（∠DBC+∠ECB）
=180°-$\frac{1}{n}$[360°-（∠ABC+∠ACB）]
=180°-$\frac{1}{n}$[360°-（180°-∠A）]
=180°-$\frac{1}{n}$（180°+∠α）
=$\frac{{（n-1）•{{180}°}-∠α}}{n}$，
故答案为：$\frac{{（n-1）•{{180}°}-∠α}}{n}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．根据角的和差关系进行计算是解决问题的关键．