Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在Rt△ABC内部作正方形D₁E₁F₁G₁，其中点D₁，E₁分别在AC，BC边上，边F₁G₁在BC上，它的面积记作S₁；按同样的方法在△CD₁E₁内部作正方形D₂E₂F₂G₂，它的面积记作S₂，S₂=$\frac{8}{{3}^{4}}$，…，照此规律作下去，正方形D_nE_nF_nG_n的面积S_n=$\frac{8}{{3}^{2n}}$．

Answer 1

分析 易知AB=3G₁F₁，G₁F₁=3G₂F₂，求出第一个、第二个正方形的面积，探究规律后即可解决问题．

解答 解：∵CA=CB，∴∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵正方形D₁E₁F₁G₁，易知AB=3G₁F₁，G₁F₁=3G₂F₂，
∴正方形D₁E₁F₁G₁的边长为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，面积为$\frac{8}{9}$=$\frac{8}{{3}^{2}}$，
正方形D₂E₂F₂G₂，的边长为$\frac{2\sqrt{2}}{9}$，面积为$\frac{8}{{3}^{4}}$，
…，
正方形D_nE_nF_nG_n的面积S_n=$\frac{8}{{3}^{2n}}$，
故答案分别为$\frac{8}{{3}^{4}}$，$\frac{8}{{3}^{2n}}$．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律、利用规律解决问题，属于中考常考题型．