题目内容
5．已知在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BD上一动点（不与点B，D重合），连接AE，以AE为边在AE的右侧作菱形AEFG，且∠AEF=60°．（1）如图1，若点F落在线段BD上，请判断：线段EF与线段DF的数量关系是EF=DF
（2）如图2，若点F不在线段BD上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；
（3）若点C，E，G三点在同一直线上，其它条件不变，请直接写出线段BE与线段BD的数量关系．
分析 （1）先利用菱形的性质得出∠ABO=∠ADO=30°，AC⊥BD，即可求出∠FAD=30°即可得出结论；
（2）先判断出△ACD和△AEF是等边三角形，进而得出∠CAE=∠DAF，即可判断出△ACE≌△ADF，即可得出结论；
（3）先求出∠CAE=15°，进而判断出BE=AB，再找出OB与AB的关键，代换即可得出结论．
解答 解：（1）如图1，
连接AF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠OAE=∠OAF=30°，
∴∠DAF=30°=∠ADO，
∴AF=FD，
∵AF=EF，
∴EF=FD；
∵∠AEF=60°，
∴∠BAE=30°=∠ABO，
∴AE=BE，
（2）成立，如图3，
连接CE，AF，
∵四边形ABCD是菱形，四边形AEFG是菱形，
∴AD=CD，AE=EF，BD垂直平分AC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠ADC=∠AEF=60°，
∴△ACD和△AEF是等边三角形，
∴AC=AD，AE=AF=EF，∠CAD=∠EAF=60°，
∴∠CAE=∠DAF，
在△ACE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{∠CAE=∠DAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
△ACE≌△ADF，
∴EC=DF，
∵BD垂直平分AC，
∴EC=AE，
∴DF=AE=EF
（3）如图2，
∵AE=CE，
∴∠ACE=∠CAE，
∵点C，E，G在同一条直线上，
∴∠AEG=2∠CAE=30°，
∴∠CAE=15°，
∵∠BAO=60°°，
∴∠BAE=75°，
∵∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠AEB=75°=∠BAE，
∴BE=AB，
在Rt△AOB中，∠ABO=30°，
∴cos∠ABO=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE，
∴BD=2OB=$\sqrt{3}$BE．
点评 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，解（1）的关键是判断出AF=FD，解（2）的关键是判断出△ACE≌△ADF，解（3）的关键是判断出BE=AB，是一道中等难度的中考常考题．
活力课时同步练习册系列答案
学业测评一课一测系列答案| A． | -6 | B． | 6 | C． | 5 | D． | 14 |
| A． | $\sqrt{3}$ | B． | -$\sqrt{3}$ | C． | ±$\sqrt{3}$ | D． | 3 |
如图，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB于E，在线段
如图，已知正方形ABCD、AEFG边长分别为$\sqrt{2}$cm、2cm，将正方形ABCD绕点A旋转，连接BG、DE相交于点H．
