Question

2．如图1，在直角坐标系中，点A坐标为（0，12），经过原点的直线l₁与经过点A的直线l₂相交于点B（m，n）
（1）若m=9，n=3，求直线l₁和l₂的解析式；
（2）将△BAO绕点B顺时针旋转180°得△BFE，
如图2，连接AE，OF；
①证明：四边形OFEA是平行四边形；
②若四边形OFEA是正方形，则m=6，n=6．

Answer 1

分析 （1）由条件可得出B点坐标，结合A点坐标，利用待定系数法可求得两直线解析式；
（2）①由旋转的性质可得AB=BF、BO=BE，可证明四边形OFEA是平行四边形；②过B作BM⊥x轴于M，作BN⊥y轴于N，由正方形的性质可知BM=BN=$\frac{1}{2}$OA，可求得答案．

解答 解：
（1）由题意可知B（9，3），
设直线l₁的解析式为y=kx，则3=9k，解得k=$\frac{1}{3}$，
∴直线l₁的解析式为y=$\frac{1}{3}$x；
设直线l₂的解析式为y=ax+b，
把A、B两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{b=12}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
∴直线l₂的解析式为y=-x+12；
（2）①∵将△BAO绕点B顺时针旋转180°得△BFE，
∴AB=BF、BO=BE，
∴四边形OFEA是平行四边形；
②如图，过B作BM⊥x轴于M，作BN⊥y轴于N，

∵四边形OFEA为正方形，
∴B为AF的中点，M为OF的中点，
∴BM=$\frac{1}{2}$OA=6，
∵N为AO的中点，△ABO为直角三角形，
∴BN=$\frac{1}{2}$AO=6，
∴m=6，n=6，
故答案为：6；6．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、平行四边形的判定、正方形的性质、直角三角形的性质及三角形中位线定理等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中根据旋转的性质得到四边形的对角线互相平分是解题的关键，在②中利用正方形的性质求得B点坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．