Question

2．如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点，且DF=2$\sqrt{3}$，以O为圆心，OC为半径作弧CE，交OB于点E．
（1）求OA的长；
（2）计算阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）首先证明OA⊥DF，由垂径定理求出CD=$\sqrt{3}$，由OD=2CO推出∠CDO=30°，设OC=x，则OD=2x，利用勾股定理即可解决问题．
（2）根据S_阴=S_△CDO+S_扇形OBD-S_扇形OCE计算即可．

解答 解；（1）连接OD，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵CD∥OB，
∴∠OCD=90°，∴OA⊥DF，∴CD=$\frac{1}{2}$DF=$\sqrt{3}$
在Rt△OCD中，∵C是AO中点，
∴OA=OD=2CO，
设OC=x，
则x²+（ $\sqrt{3}$）²=（2x）²，
解得：x=1，
∴OA=OD=2，
（2）∵OC=$\frac{1}{2}$OD，∠OCD=90°，∴∠CDO=30°，
∵FD∥OB，
∴∠DOB=∠ODC=30°，
∴S_阴=S_△CDO+S_扇形OBD-S_扇形OCE
=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$+$\frac{30π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{90π×{1}^{2}}{360}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{π}{12}$．

点评 本题考查了扇形面积、垂径定理、勾股定理、有一个角是30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积．学会把求不规则图形面积转化为求规则图形面积，属于中考常考题型．