Question

15．阅读下面解题过程：已知$\frac{x}{{x}^{2}+1}=\frac{2}{5}$，求$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+1}$的值．
解：∵$\frac{x}{{x}^{2}+1}=\frac{2}{5}$（x≠0），
∴$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}=\frac{2}{5}$，即x+$\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$．
∴$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+1}=\frac{1}{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{1}{（\frac{5}{2}）^{2}-2}=\frac{4}{17}$．
（2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：
已知$\frac{x}{{x}^{2}-3x+1}=2，求$$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$的值．

Answer 1

分析 利用倒数的定义得$\frac{{x}^{2}-3x+1}{x}$=$\frac{1}{2}$，则x+$\frac{1}{x}$=$\frac{7}{2}$，再变形$\frac{{x}^{4}+{x}^{2}+1}{{x}^{2}}$得到（x+$\frac{1}{x}$）²-1，然后计算它的值从而得到原式的值．

解答 解：∵$\frac{x}{{x}^{2}-3x+1}$=2，
∴$\frac{{x}^{2}-3x+1}{x}$=$\frac{1}{2}$，
∴x+$\frac{1}{x}$=$\frac{7}{2}$，
∴$\frac{{x}^{4}+{x}^{2}+1}{{x}^{2}}$=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+1=（x+$\frac{1}{x}$）²-2+1=$\frac{49}{4}$-1=$\frac{45}{4}$，
∴原式=$\frac{4}{45}$．

点评 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．