Question

12．设[t]表示不超过实数t的最大整数，令{t}=t-[t]．已知实数x满足x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$=18，则{x}+{$\frac{1}{x}$}=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 3$-\sqrt{5}$
• C． $\frac{1}{2}$（3$-\sqrt{5}$）
• D． 1

Answer 1

分析 根据题意得出[x]=2，进而利用x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$=（x+$\frac{1}{x}$）（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-1）求出x+$\frac{1}{x}$的值，进而求出答案．

解答 解：设x＞$\frac{1}{x}$，
∵x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$=18＞0，
∴x＞$\frac{1}{x}$＞0，
易知[$\frac{1}{x}$]=0，而对于x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$=18来说，
0＜$\frac{1}{{x}^{3}}$＜1，
∴17＜x³＜18，
∴[x]=2，
而x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$
=（x+$\frac{1}{x}$）（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-1）
=（x+$\frac{1}{x}$）[（x+$\frac{1}{x}$）²-3]
令t=x+$\frac{1}{x}$，
则t³-3t-18=0，
（t-3）（t²+3t+6）=0，
解得：t=3，
∴{x}+{$\frac{1}{x}$}=x+$\frac{1}{x}$-[x]-[$\frac{1}{x}$]=t-2-0=3-2=1．
故选：D．

点评 此题主要考查了取整计算，正确根据题意得出{x}+{$\frac{1}{x}$}=x+$\frac{1}{x}$-[x]-[$\frac{1}{x}$]是解题关键．