题目内容
16．
如图，在平行四边形ABCD中．AB∥CD，AD∥BC，P为平行四边形ABCD内一点，过P作EF∥BC，MN∥CD，设四边形AMPE、四边形EPNB、四边形MDFP、四边形CFPN的面积分别为S1、S2、S3、S4．（1）MN与AB平行吗？为什么？
（2）$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$与$\frac{MP}{NP}$相等吗？为什么？
（3）你发观S1、S2、S3、S4之间有什么数量关系，请说明你的结论．
分析 （1）根据平行公理的推论即可得到结论；
（2）过E作EH⊥CD于H，根据平行四边形的判定得到四边形AMPE，EPNB是平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得到结论；
（3）根据已知条件得到四边形AMPE，EPNB，MPFD，PFCN是平行四边形，由平行四边形的面积得到$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{{S}_{3}}{{S}_{4}}$，即可得到结论．
解答 
解：（1）MN与AB平行，
理由：∵AB∥CD，MN∥CD，
∴MN∥AB；
（2）$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$与$\frac{MP}{NP}$相等，
理由：过E作EH⊥CD于H，
∵CD∥MN，
∴EG⊥MN，
∵AB∥MN，AD∥EF∥BC，
∴四边形AMPE，EPNB是平行四边形，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{PM•EG}{PN•EG}$=$\frac{MP}{NP}$；
（3）S1•S4=S2•S3，
∵AB∥MN∥CD，AD∥EF∥BC，．
∴四边形AMPE，EPNB，MPFD，PFCN是平行四边形，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{PM•EG}{PN•EG}$=$\frac{MP}{NP}$，$\frac{{S}_{3}}{{S}_{4}}$=$\frac{PM•GH}{PN•GH}$=$\frac{PM}{PN}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{{S}_{3}}{{S}_{4}}$，
∴S1•S4=S2•S3．
点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，平行四边形的面积的计算，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键．
练习册系列答案
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