Question

14．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD，过点E作EF∥BC，与AC交于点F．
（1）求证：△AEF是等边三角形．
（2）当E为AB的中点时，CE=ED；当E不是AB的中点时，CE与ED还相等吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据平行线的性质，判定∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，再根据∠A的度数，判定△AEF是等边三角形；
（2）先根据△AEF是等边三角形以及△ABC是等边三角形，利用SAS判定△CFE≌△EBD，进而得出CE=ED．

解答 解：（1）∵在等边三角形ABC中，EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠AFE=∠ACB=60°，
∴∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形；

（2）CE与ED相等．
理由：∵△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，
又∵AE=BD，
∴EF=DB，
∵∠AFE=∠ABC=60°，
∴∠CFE=∠FBD=120°，
∵AB=AC，AE=AF，
∴BE=FC，
在△CFE和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=DB}\\{∠CFE=∠FBD}\\{BE=FC}\end{array}\right.$
∴△CFE≌△EBD（SAS），
∴CE=ED．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形性质的运用，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．