Question

3．求下列各式的值：
（1）1-2sin²30°；
（2）sin45°cos30°-cos45°sin30°；
（3）$\frac{sin45°}{cos60°}$；
（4）$\frac{tan30°+tan45°}{1-tan30°tan45°}$．

Answer 1

分析 （1）将sin30°=$\frac{1}{2}$代入计算即可；
（2）将sin30°=$\frac{1}{2}$、cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$、sin45°=cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$代入计算即可；
（3）将sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$、cos60°=$\frac{1}{2}$代入计算可得；
（4）将tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$、tan45°=1代入计算可得．

解答 解：（1）原式=1-2×（$\frac{1}{2}$）²
=1-2×$\frac{1}{4}$
=1-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$；

（2）原式=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$；

（3）原式=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$
=$\sqrt{2}$；

（4）原式=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}×1}$
=$\frac{\frac{\sqrt{3}+3}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}$
=$\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$
=$\frac{12+6\sqrt{3}}{6}$
=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查特殊锐角的三角函数值计算，应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．