Question

4．已知：如图，在△ODC中，∠D=90°，CE是∠DCO的角平分线，且OE⊥CE，过点E作EF⊥OC于点F，猜想：线段EF与OD之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 延长CD和OE，使CD、OE相交于H，过E点作EG⊥HD，根据△OCE≌△HCE可得OE=EH，再判断出EG是△OHD的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EG=$\frac{1}{2}$OD，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EF=EG，等量代换即可得证．

解答 解：如图，延长CD和OE，交于H，过E点作EG⊥HD，
∵EC是∠DCO的平分线，且EC⊥OE，
∴由∠CEO=∠CEH=90°，CE=CE，∠OCE=∠HCE可得，△OCE≌△HCE，
∴OE=EH，
∵EG⊥HD，OD⊥HD，
∴EG∥OD，
∴EG是△OHD的中位线，
∴EG=$\frac{1}{2}$OD，
又∵EC是∠DCO的平分线，EG⊥HD，EF⊥OC，
∴EG=EF，
∴EF=$\frac{1}{2}$OD．

点评 本题主要考查了角平分线的性质以及三角形中位线定理，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和三角形的中位线．解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．