Question

7．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=4，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形；
（2）证明△ABC是等边三角形，得出OA=$\frac{1}{2}$×4=2，由勾股定理得出OB=2$\sqrt{3}$，由菱形的性质得出OD=OB=2$\sqrt{3}$，即可求出四边形AODE的面积．

解答 （1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴平行四边形AODE是矩形，
故四边形AODE是矩形；

（2）解：∵∠BCD=120°，AB∥CD，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴OA=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD
∴由勾股定理OB=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB=2$\sqrt{3}$，
∴四边形AODE的面积=OA•OD=2$\sqrt{12}$=$4\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．