Question

16．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，连接AE，将△ABE沿AE对折至△AEF，延长EF交CD于点G．
（1）求证：FG=BG；
（2）若AB=5，BE=1，求△CEG的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得出∠B=∠D=90°，AD=AB，根据折叠的性质得出AD=AF，∠AFG=∠D=90°，求出∠AFG=90°=∠B，AB=AF，根据HL推出全等即可；
（2）设EF=DE=x，则CE=5-x，在Rt△CEG中，CG=BC-BG=4，GE=x+1，由勾股定理得出方程，解方程求出DE，得出CE，即可求出三角形的面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AD=AB=CD=BC，
由折叠的性质可知：AD=AF，∠AFG=∠D=90°，
∴∠AFG=90°=∠B，AB=AF，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AB=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴FG=BG；

（2）解：由折叠的性质得：EF=DE，
由（1）得：FG=BG=1，
设EF=DE=x，则CE=5-x，
在Rt△CEG中，CG=BC-BG=4，GE=x+1，
由勾股定理得：CG²+CE²=GE²，
即4²+（5-x）²=（x+1）²，
解得：x=$\frac{10}{3}$，
∴CE=$\frac{5}{3}$，
∴△CEG的面积=$\frac{1}{2}$CG•CE=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{5}{3}$=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质，折叠的性质、全等三角形的判定的应用，勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质和正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．