题目内容
如图，直线y=-
| ||
| 3 |
| 3 |
（1）求直线AC所对应的函数表达式；
（2）动点M从B出发沿BC运动，运动的速度为每秒1个单位长度．当点M运动到C点时停止运动．设M运动t秒时，△ABM的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②当t为何值时，S=
| 1 |
| 2 |
③当 t=4的时候，在坐标轴上是否存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（友情提醒：在解题过程中可以直接运用以下结论：在直角三角形中，30°的角所对的直角边的长等于斜边长的一半）
考点：一次函数综合题
专题：代数几何综合题,数形结合,待定系数法
分析：（1）求出C的坐标，用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）①求出高MN，根据三角形面积公式求出即可；②求出△ABC的面积，得出方程，求出方程的解即可；③分为两种情况：当∠PMB=90°和∠PBM=90°，解直角三角形求出即可．
（2）①求出高MN，根据三角形面积公式求出即可；②求出△ABC的面积，得出方程，求出方程的解即可；③分为两种情况：当∠PMB=90°和∠PBM=90°，解直角三角形求出即可．
解答：解：（1）把x=0代入直线y=-
x+3得：y=3，
即C的坐标是（0，3），
设直线AC所对应的函数表达式是y=kx+3，
把A（-
，0）代入得：0=-
k+3，
解得：k=
，
即直线AC所对应的函数表达式是y=
x+3；
（2）
过M作MN⊥AB于N，如图1，
把x=0代入直线y=-
x+3得：y=3，
把y=0代入直线y=-
x+3得：x=3
，
即OB=3
，OC=3，
∴tan∠CBO=
=
=
，
∴∠CBO=30°，∠OCB=60°，
∵BM=t，∠MNB=90°，
∴MN=
BM=
t，
∴①S=
AB×MN，
即S与t的函数关系式是S=
t；
②∵S△ACB=
×
×3+
×3
×3=6
，S=
S△ABC，
∴
t=3
，
∴t=3；
③如图2，
当∠BMP=90°时，BM=4，∠CBO=90°，
∴cos30°=
，
∴BP1=
，
∴OP1=3
-
=
，
即P1的坐标是（
，0），
∵∠CP2M+∠OP1P2=∠CBO+∠MP1B=90°，∠MP1B=∠OP1P2，
∴∠OP2P1=30°，
∴OP2=
=1，
即P2的坐标是（0，-1）；
当∠MBP3=90°时，如图3，
则∠OBP3=90°-30°=60°，
∴OP3=OB×tan60°=3
×
=9，
即P3的坐标是（0，-9）；
综合上述：当t=4的时候，在坐标轴上存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形，P点坐标是（
，0）或（0，-1）或（0，-9）．
| ||
| 3 |
即C的坐标是（0，3），
设直线AC所对应的函数表达式是y=kx+3，
把A（-
| 3 |
| 3 |
解得：k=
| 3 |
即直线AC所对应的函数表达式是y=
| 3 |
（2）
过M作MN⊥AB于N，如图1，
把x=0代入直线y=-
| ||
| 3 |
把y=0代入直线y=-
| ||
| 3 |
| 3 |
即OB=3
| 3 |
∴tan∠CBO=
| OC |
| OB |
| 3 | ||
3
|
| ||
| 3 |
∴∠CBO=30°，∠OCB=60°，
∵BM=t，∠MNB=90°，
∴MN=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴①S=
| 1 |
| 2 |
即S与t的函数关系式是S=
| 3 |
②∵S△ACB=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴
| 3 |
| 3 |
∴t=3；
③如图2，
当∠BMP=90°时，BM=4，∠CBO=90°，
∴cos30°=
| 4 |
| BP1 |
∴BP1=
8
| ||
| 3 |
∴OP1=3
| 3 |
8
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
即P1的坐标是（
| ||
| 3 |
∵∠CP2M+∠OP1P2=∠CBO+∠MP1B=90°，∠MP1B=∠OP1P2，
∴∠OP2P1=30°，
∴OP2=
| OP1 |
| tan30° |
即P2的坐标是（0，-1）；
当∠MBP3=90°时，如图3，
则∠OBP3=90°-30°=60°，
∴OP3=OB×tan60°=3
| 3 |
| 3 |
即P3的坐标是（0，-9）；
综合上述：当t=4的时候，在坐标轴上存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形，P点坐标是（
| ||
| 3 |
点评：本题考查了坐标与图形性质，一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出一次函数的解析式，直角三角形性质，解直角三角形的应用，本题题型比较好，综合性比较强，难度偏大．
练习册系列答案
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
相关题目
汽车离开甲站10千米后，以60千米/时的速度匀速前进了1小时，则汽车离开甲站所走的路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系式是（ ）
| A、s=10+60t |
| B、s=60t |
| C、s=60t-10 |
| D、s=10-60t |
如图是一个小正方形边长为1的8×8的网格，请你在网格中画出一个面积为4的三角形．
”（两个圆，两个三角形，两条线段）构思独特而且又有意义的图形，并且写上一句贴切的解说词．
在平行四边形ABCD中，AB=10，∠ABC=60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E．