Question

13．如图，已知二次函数y=-（x+1）（x-m）的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，且图象经过点M（2，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标．

Answer 1

分析 （1）把M点坐标代入可求得m，可求得抛物线解析式；
（2）可先求得A、B点的坐标，再求得C点坐标，可求得AB、OC，可求得△ABC的面积；
（3）连接BC与对称轴的交点即为满足条件的点H，可先求得BC的解析式，进一步可求得点H的坐标．

解答 解：（1）将M（2，3）代入y=-（x+1）（x-m）得，
3=-（2+1）（2-m），解得m=3，
∴二次函数解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；
（2）令y=0，即-（x+1）（x-3）=0，解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
在y=-（x+1）（x-3）中，令x=0得y=3，
∴点C（0，3），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（3）∵二次函数的解析为y=-（x+1）（x-3），
∴二次函数的对称轴是直线x=1，
又点A、B关于直线x=1，
如图，连接BC交直线x=1于点H，则点H使AH+CH最小，

设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B（3，0），点C（0，3），代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
将x=1代入得y=2，
∴点H的坐标为（1，2）．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、点的坐标、二次函数的性质、轴对称的性质等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得A、B、C的坐标是解题的关键，在（3）中确定出H点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较基础，难度不大．