Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD的延长线，垂足为E．
（1）若BD是AC边上的中线，如图1，求

BD

CE

的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，如图2，求

BD

CE

的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1））根据∠A=∠E=90°，∠ADB=∠EDC可知△ADB∽△EDC，由相似三角形的对应边成比例可知

AD

AB

=

DE

CE

，由BD是AC的中线，AB=AC，可知AB=2AD，在Rt△ADB中，根据勾股定理可知BD=

5

AD，在Rt△CDE中，CE²+DE²=CD²故可得出结论；
（2）延长CE、BA相交于点F，由全等三角形的判定定理可知△BEC≌△BEF，故可得出CE=EF，
再由∠ABD+∠ADB=∠CDE+∠ACF=90°，且∠ADB=∠CDE，由ASA定理可知△ABD≌△ACF，故BD=CF，BD=2CE，由此即可得出结论．

解答：解：（1）∵∠A=∠E=90°，∠ADB=∠EDC
∴△ADB∽△EDC，
∴

AD

AB

=

DE

CE

∵BD是AC的中线，AB=AC，
∴AB=2AD
∴在Rt△ADB中，
BD=

AB2+AD2

=

4AD2+AD2

=

5

AD，
在Rt△CDE中，
由CE²+DE²=CD²，得CE²+

1

4

CE²=CD²
∴CE=

2

5

CD=

2

5

AD，
∴

BD

CE

=

5 AD

2 5 AD

=

5

2

；

（2）如图3，延长CE、BA相交于点F
∵BE是∠ABC的角平分线，且BE⊥CF
∴

EF=CE ∠BEF=∠BEC BE=BE

，
∴△BEC≌△BEF，
∴CE=EF，
∴CF=2CE
又∵∠ABD+∠ADB=∠CDE+∠ACF=90°，
且∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD=∠ACF
∵AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，
∴

∠ABD=∠ACF AB=AC ∠BAD=∠CAF

，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∴BD=2CE，
∴

BD

CE

=2

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，难度适中．