Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：∠BDF=∠F；
（2）如果CF=1，sinA=$\frac{3}{5}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，连接OE，根据切线的性质知OE⊥AC，已知∠ACB=90°，可知OE∥BC，得∠OED=∠F，再根据OD=OE，可知∠ODE=∠OED，从而可得∠BDE=∠F；
（2）根据sinA=$\frac{3}{5}$，得出cos∠B=cos∠AOE=$\frac{3}{5}$，进一步设出未知数，利用锐角三角函数的意义可将⊙O的半径求出．

解答 （1）证明：如图，连结OE．

∵AC切⊙O于点E，
∴∠AEO=90°．
∵∠ACB=90°
∴∠ACB=∠AEO．
∴OE∥BC．
∴∠OED=∠BFD．
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE．
∴∠BDF=∠F．
（2）解：∵OE∥BC，
∴∠AOE=∠B．
∵sin∠A=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠B=cos∠AOE=$\frac{3}{5}$，
设OE=3x，则OA=5x，OB=3x．
∴BD=BF=6x，AB=8x．
∵CF=1，
∴BC=6x-1．
∵cos∠B=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{6x-1}{8x}$=$\frac{3}{5}$．
解得x=$\frac{5}{6}$．
∴OB=3x=$\frac{5}{2}$．
∴⊙O的半径是$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了圆的切线性质，锐角三角函数的意义，结合几何图形，灵活作出辅助线解决问题．