Question

10．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．王华按照相关政策投资销售本市生产的一种品牌衬衫．已知这种品牌衬衫的成本价为每件100元，出厂价为每件120元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=-2x+500．
（1）王华在开始创业的第1个月将销售单价定为150元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设王华获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种品牌衬衫的销售单价不得高于170元．如果王华想要每月获得的利润不低于10450元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？

Answer 1

分析 （1）把x=150代入y=-2x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
（2）由总利润=销售量•每件纯赚利润，得w=（x-100）（-2x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）令-2（x-175）²+11250=10450，求出x的值，求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．

解答 解：（1）当x=150时，y=-2x+500=-2×150+500=200，
200×（120-100）=200×20=4000，即政府这个月为他承担的总差价为4000元．

（2）依题意得，
w=（x-100）（-2x+500）=-2（x-175）²+11250
∵a=-2＜0，
∴当x=175时，w有最大值11250．
即当销售单价定为175元时，每月可获得最大利润11250．

（3）由题意得：-2（x-175）²+11250=10450，
解得：x₁=195，x₂=155．
∵a=-2＜0，抛物线开口向下，
∴当155≤x≤195时，w≥10450．
又∵x≤195，
∴当155≤x≤195时，w≥10450．设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=（120-100）×（-2x+500）=-40x+10000．
∵k=-40＜0．
∴p随x的增大而减小，销售单价不得高于170元，
∴当x=170时，p有最小值3200．
即销售单价定为170元时，政府每个月为他承担的总差价最少为3200元．

点评 本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．