Question

5．设a₁=3²-1²，a₂=5²-3²，…，a_n=（2n+1）²-（2n-1）²，（n为正整数）
（1）试说明a_n是8的倍数；
（2）若△ABC的三条边长分别为a_k、a_k+1、a_k+2（k为正整数）
①求k的取值范围．
②是否存在这样的k，使得△ABC的周长为一个完全平方数？若存在，试举出一例，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以对a_n进行化简，从而可以解答本题；
（2）①根据（1）中的结果，可以得到a_k、a_k+1、a_k+2的值，从而可以得到k的取值范围；
②根据①中a_k、a_k+1、a_k+2的值，可以求得△ABC的周长，从而可以解答本题．

解答 解：（1）∵a_n=（2n+1）²-（2n-1）²
=[（2n+1）-（2n-1）][（2n+1）+（2n-1）]
=2×4n
=8n，
∵8n能被8整除，
∴a_n是8的倍数；
（2）①由（1）可得，a_k=8k，a_k+1=8（k+1），a_k+2=8（k+2），
∴8k+8（k+1）＞8（k+2），
解得，k＞1，
即k的取值范围是：k＞1；
②存在这样的k，使得△ABC的周长为一个完全平方数，
理由：∵△ABC的周长是：8k+8（k+1）+8（k+2）=24k+24=24（k+1）=4×6×（k+1），
∴△ABC的周长为一个完全平方数，则k+1=6得k=5即可，
即当k=5时，△ABC的周长为一个完全平方数．

点评 本题考查整式的混合运算，三角形三边的关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．