Question

10．市政广场前有块形状为直角三角形的绿地（如图所示），其中AC=8m，BC=6m．为广场整体布局考虑，现在将原绿地扩充成等腰三角形，且扩充所增加的部分要求是以AC为直角边的直角三角形．请求出扩充建设后所得等腰三角形绿地的周长．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，分AB=AD，AB=BD，AD=BD三种情况进行讨论即可．

解答 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
根据勾股定理得：$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10本题可分为三种情况，讨论如下：
（1）如图1，当AB=AD=10时，

在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=6，
∴△ABD的周长=10+10+6×2=32m；
（2）如图2，当AB=BD=10时，

∵BC=6，
∴CD=BD-BC=10-6=4，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：
∴△ABD的周长=10+10+4$\sqrt{5}$=（20+4$\sqrt{5}$）m，
（3）如图3，

当AB为底，AD=BD时，设AD=BD=x，则CD=x-6，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得：
AC²+CD²=AD²，
即8²+（x-6）²=x²，
解得：x=$\frac{25}{3}$，
∴△ABD的周长=10+$\frac{25}{3}$×2=$\frac{80}{3}$m，
∴扩充后的绿地的周长为：32m或（20+4$\sqrt{5}$）m或$\frac{80}{3}$m．

点评 本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用是解答此题的关键．