Question

2．如图，矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 以CD为轴，将△ACD往上翻转180°，由已知的边角关系可知△A′CA为等边三角形，求出A′C边上的高线，由“直线外一点到这条直线中，垂线段最短”即可得出结论．

解答 解：以CD为轴，将△ACD往上翻转180°，如图，

过点A作AE⊥A′C于E点，AE交CD于F点，
当Q与F点重合，P′与E点重合时，AQ+QP=AF+EF=AE最短（直线外一点到这条直线中，垂线段最短），
∵矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，
∴∠A′CD=∠ACD=∠CAB=30°，
∴∠A′CA=60°，
又∵AC=A′C，
∴△A′CA为等边三角形，且A′A=2AD=8，
AE=A′A•sin∠A′CA=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了轴对称图形的性质以及点到直线的距离，解题的关键是以CD为轴，将△ACD往上翻转180°，找出A′C边上的高线．