Question

7．如图，O是等边△ABC内一点，OA=6，OB=8，OC=10，以B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′．则下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到；②连接OO′，则OO′=8；③∠AOB=150°；④${S_{四边形AOBO'}}=24+12\sqrt{3}$
其中正确的有（　　）

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为6，8，10，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S_△AOO′+S_△OBO可对称④作出判断．

解答 解：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3．
又∵OB=O′B，AB=BC，
∴△BO′A和△BOC中$\left\{\begin{array}{l}{OB=O′B}\\{∠1=∠3}\\{AB=BC}\end{array}\right.$．
∴△BO′A≌△BOC（SAS）．
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到．
故结论①正确；
如图所示：连接OO′．

∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=8．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A=10．
在△AOO′中，三边长为6，8，10，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论③正确；
S_{四边形AOBO′}=S_△AOO′+S_△OBO′=$\frac{1}{2}$×6×8+$\frac{1}{2}$×8×$4\sqrt{3}$=24+16$\sqrt{3}$，故结论④错误．
综上所述，正确的结论为：①②③．
故选：B．

点评 本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数6、10、10所构成的三角形是直角三角形是解题的关键．