Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知AB=5，AC=4，求⊙O的半径r．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连接OD，如图，由OB=OD得∠ODB=∠OBD，由AC平分∠ABC得∠OBD=∠DBC，则∠ODB=∠DBC，根据平行线的判定得到OD∥BC，再利用平行线的性质得∠ADO=90°，然后根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
（2）先根据勾股定理计算出BC=3，再证明△AOD∽△ABC，利用相似比得

r

3

=

5-r

5

，然后利用比例性质求r的值．

解答：（1）证明：连接OD，如图，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠OBD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC，
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴BC=

AB2-AC2

=3，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴

OD

BC

=

AO

AB

，即

r

3

=

5-r

5

，
解得r=

15

8

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了平行线的判定与性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．