Question

7．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，7），B（24，0）．△AOB内是否有一点P到各边的距离相等？如果有，请作出这一点，并求出符合条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 作∠OAB和∠AOB的平分线，两线交于C，则点C到各边的距离相等，根据勾股定理求得AB的长，再根据直角三角形的面积公式即可求得该距离的长，即可得点C的坐标．

解答 解：如图，作∠OAB和∠AOB的平分线，两线交于C，则点C到各边的距离相等，

过点C作CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，CF⊥AB于点F，
∵AC平分∠OAB、OC平分∠AOB，
∴CD=CF=CE，
设CD=CF=CE=x，
在Rt△AOB中，∵OA=7、OB=24，
∴AB=25，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×x+$\frac{1}{2}$OA×x+$\frac{1}{2}$OB×x=$\frac{1}{2}$（OA+OB+AB）•x=$\frac{1}{2}$×56x=28x，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×OB×OA=84，
∴28x=84，
解得：x=3，
即点P的坐标为（3，3）．

点评 本题主要考查直角三角形的内切圆的性质、角平分线的性质等知识点，关键在于分析出这个距离就是求这个三角形的内切圆的半径．