Question

1．已知：抛物线C₁：y=x²-2x-3．
（1）将抛物线C₁沿y轴向上或向下平移后所得抛物线C₂经过点Q（2，0），求抛物线C₂的表达式；
（2）将抛物线C₁向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C₃经过坐标原点，并求出C₃的表达式；
（3）将抛物线C₁绕点A（-1，0）旋转180°，直接写出所得抛物线C₄的表达式．

Answer 1

分析 （1）先把C₁的解析式配成顶点式得y=（x-1）²-4，则根据题意可设C₂的表达式为y=（x-1）²-4+t，然后把Q点坐标代入求出t即得到抛物线C₂的表达式；
（2）设抛物线C₁向左平移m（m＞0）个单位长度，可使所得的抛物线C₃经过坐标原点，则可设顶点式y=（x-1+m）²-4，然后把原点坐标代入即可得到抛物线C₃的表达式；
（3）先确定点（1，-4）关于点A（-1，0）对称的对应点的坐标，然后利用顶点式可写出抛物线C₄的表达式．

解答 解：（1）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
设抛物线C₂的表达式为y=（x-1）²-4+t，
把Q（2，0）代入得1-4+t=0，解得t=3，
所以y=（x-1）²-1；
（2）设抛物线C₁向左平移m（m＞0）个单位长度，可使所得的抛物线C₃经过坐标原点，
则C₃的表达式为y=（x-1+m）²-4，
把（0，0）代入得（0-1+m）²-4=0，解得m₁=-1（舍去），m₂=3，
所以C₃的表达式为y=（x-1+3）²-4，即y=（x+2）²-4；
（3）点（1，-4）关于点A（-1，0）对称的对应点的坐标为（-3，4），
所以抛物线C₄的表达式为y=-（x+3）²+4．

点评 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．