Question

16．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，E为CB延长线上一点，点F在AB上，且AE=CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）求证：CF⊥AE．

Answer 1

分析 （1）由HL证明Rt△ABE≌Rt△CBF即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠BAE=∠BCF，再由角的互余关系和对顶角相等得出∠BAE+∠AFG=90°，得出∠AGF=90°，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=180°-∠ABC=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）证明：延长CF交AE于G，如图所示：
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BAE=∠BCF，
∵∠BCF+∠BFC=90°，∠BCF=∠AFG，
∴∠BAE+∠AFG=90°，
∴∠AGF=90°，
∴FG⊥AE，
即CF⊥AE．

点评 本题考查了直角三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．