Question

9．甲、乙、丙三地在一条直线上，乙地在甲地和丙地之间，一列高速列车从甲地开往乙地，一列快速列车从丙地经乙地开往甲地，两列列车同时出发，匀速行驶，且到达各自目的地后停止运行，从两列列车出发开始，至快速列车到达甲地为止，两列列车的距离s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数图象如图所示
（1）甲、丙两地之间的距离是1000千米；
（2）求两列列车的速度；
（3）请直接写出s与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当t=0时，s=1000，由此可知甲、丙两地之间的距离；
（2）设高速列车的速度为x千米/时，快速列车的速度为y千米/时，根据路程=速度×时间，可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（3）结合（2）中的速度，根据时间=路程÷速度可寻找出图象各拐点的坐标，设s关于t的函数关系式为y=kt+b，分段利用待定系数法即可寻找函数关系式．

解答 解：（1）当t=0时，s=1000，
∴甲、丙两地之间的距离是1000千米．
故答案为：1000．
（2）设高速列车的速度为x千米/时，快速列车的速度为y千米/时，
由题意知：$\left\{\begin{array}{l}{2（x+y）=1000}\\{3x=900}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=300}\\{y=200}\end{array}\right.$．
答：高速列车的速度为300千米/时，快速列车的速度为200千米/时．
（3）设s关于t的函数关系式为y=kt+b，
①当0≤t＜2时，有$\left\{\begin{array}{l}{b=1000}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-500}\\{b=1000}\end{array}\right.$．
此时s=-500t+1000；
②当t=3时，两车之间的距离为（300+200）×（3-2）=500（千米），
当2≤t＜3时，有$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{3k+b=500}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=500}\\{b=-1000}\end{array}\right.$．
此时s=500t-1000；
③快速列车到达甲地的时间为1000÷200=5（小时），
当3≤t≤5时，有$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=500}\\{5k+b=900}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=200}\\{b=-100}\end{array}\right.$．
此时s=200t-100．
综上可知：s与t之间的函数关系式为s=$\left\{\begin{array}{l}{-500t+1000（0≤t＜2）}\\{500t-1000（2≤t＜3）}\\{200t-100（3≤t≤5）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及待定系数法求函数关系式，解题的关键是：（1）令t=0找出s=1000；（2）利用数量关系列出关于x、y的二元一次方程组；（3）找出各拐点的坐标利用待定系数法求函数关系式．本题属于中档题，（1）没有难度；（2）需结合图形分析出何时高铁到达乙地；（3）由数量关系寻找各拐点坐标，深刻体现了数形结合的好处．