Question

13．如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长；
（3）在（2）条件下求阴影部分的面积．（结果可含π）．

Answer 1

分析 （1）连接OC，证明OC⊥DC，利用经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线判定切线即可；
（2）利用等弧所对的圆心角相等和题目中的已知角得到∠D=30°，利用解直角三角形求得CD的长即可；
（3）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA=30°，解直角三角形得到AB=2$\sqrt{3}$，根据图形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OC，
∵CA=CB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CB}$
∴OC⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD与⊙O相切．

（2）∵CA=CB，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，
∴∠DOC=60°
∴∠D=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OD，
∵OA=OC=2，
∴DO=4，
∴CD=$\sqrt{D{O}^{2}-O{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；

（3）连接OB，
∵∠AOB=120°，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∵∠AOC=∠BOC=60°，
∴AO=OA=AC=BC，
∴四边形ACBO是菱形，
∴S_阴影=S_△ODC+S_扇形COB-S_{四边形ACBO}=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2+$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，三角形的面积的计算，勾股定理，垂径定理正确的作出辅助线是解题的关键．