Question

6．抛物线y₁=-2x²+2与y₂=-（x-3）²+4在x轴上方（含与x轴的交点）的部分分别记作C₁，C₂，若直线y=$\frac{3}{5}$x+m与C₁，C₂共有至少3个不同的交点，则m的取值范围是-$\frac{3}{5}$≤m≤$\frac{409}{200}$．

Answer 1

分析 根据已知条件得到抛物线y₁=-2x²+2与x轴交于（-1，0），（1，0），顶点坐标（0，2），抛物线y₂=-（x-3）²+4与x轴交于（1，0），（5，0），顶点坐标（3，4），于是若直线y=$\frac{3}{5}$x+m与y₁相切时，求得m=$\frac{409}{200}$，若直线y=$\frac{3}{5}$x+m过（1，0）时，求得m=-$\frac{3}{5}$，于是得到结论．

解答 解：如图，∵抛物线y₁=-2x²+2与x轴交于（-1，0），（1，0），顶点坐标（0，2），
抛物线y₂=-（x-3）²+4与x轴交于（1，0），（5，0），顶点坐标（3，4），
∴若直线y=$\frac{3}{5}$x+m与y₁相切时，-2x²+2=$\frac{3}{5}$x+m，
∴△=（$\frac{3}{5}$）²-4×（-2）×（m-2）=0，
∴m=$\frac{409}{200}$，若直线y=$\frac{3}{5}$x+m过（1，0）时，m=-$\frac{3}{5}$，
∴若直线y=$\frac{3}{5}$x+m与C₁，C₂共有至少3个不同的交点，则m的取值范围是-$\frac{3}{5}$≤m≤$\frac{409}{200}$，
故答案为：-$\frac{3}{5}$≤m≤$\frac{409}{200}$．

点评 本题主要考查二次函数与x轴的交点，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．