Question

4．如图，直线AB，CD被EF所截，∠1+∠2=180°，EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE．
（1）判定EM与FN之间的关系，并证明你的结论；
（2）由（1）的结论我们可以得到一个命题：
如果两条直线平行，那么内错角的角平分线互相平行．
（3）由此可以探究并得到：
如果两条直线平行，那么同旁内角的角平分线互相垂直．

Answer 1

分析 （1）由∠1+∠2=180°可得出∠1=∠EFD，由“同位角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，再由平行线的性质即可得出∠BEF=∠CFE，进而得出∠3=∠4，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出AB∥CD；
（2）结合（1）的结论即可得出命题：如果两条直线平行，那么内错角的角平分线互相平行；
（3）根据“两直线平行，同旁内角互补”结合角平分线的性质即可得出命题：如果两条直线平行，那么同旁内角的角平分线互相垂直．

解答 解：（1）EM∥FN．
证明：∵∠1+∠2=180°，∠EFD+∠2=180°，
∴∠1=∠EFD，
∴AB∥CD，
∴∠BEF=∠CFE．
∵EM，FN分别平分∠BEF和∠CFE，
∴∠3=∠4，
∴EM∥FN．
（2）由（1）可知EM∥FN，
∴可得出命题：如果两条直线平行，那么内错角的角平分线互相平行．
故答案为：平行；平行．
（3）由“两直线平行，同旁内角互补”可得出：
如果两条直线平行，那么同旁内角的角平分线互相垂直．
故答案为：平行；垂直．

点评 本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质，解题的关键是：（1）依据“内错角相等，两直线平行”证出AB∥CD；（2）根据（1）的结论得出命题；（3）根据“两直线平行，同旁内角互补”结合角平分线的性质得出命题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两直线平行找出相等（或互补）的角是关键．