Question

13．如图，△ABC中，AB=15，AC=13，点D是BC上一点，且AD=12，BD=9，点E、F分别是AB、AC的中点，则△DEF的周长是21．

Answer 1

分析 可先判定△ABD为直角三角形，再利用勾股定理可求得CD，由三角形中位线定理可求得EF，再根据直角三角形的性质可分别求得DE和DF，可求得答案．

解答 解：
∵AB=15，AD=12，BD=9，
∴AD²+BD²=AB²，
∴△ABD和△ACD为直角三角形，
在Rt△ACD中，由勾股定理可得CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
∴BC=BD+CD=9+5=14，
∵E、F分别为AB、AC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC=7，
在Rt△ABD中，E为AB的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{15}{2}$，
同理DF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{13}{2}$，
∴△DEF的周长=7+$\frac{15}{2}$+$\frac{13}{2}$=21，
故答案为：21．

点评 本题主要考查三角中位线定理及直角三角形的判定和性质，由勾股定理的逆定理证得△ABD为直角三角形是解题的关键．