Question

12．感知：如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．
（1）∠AEC的度数为120°；
（2）线段AE、BD之间的数量关系为AE=BD．
拓展探究
如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接AE．试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系，并说明理由．
解决问题：
如图3，△ABC和△DCE都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，点B、D、E在同一条直线上，则∠EAB+∠ECB=180度．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△ECA≌△DCB，根据全等三角形的性质求出∠AEC的度数；
（2）根据全等三角形的性质解答即可；
拓展探究：根据△ECA≌△DCB得到∠AEB=∠CEA-∠CEB=90°，根据直角三角形的性质得到CM=EM=MD，得到线段CM、AE、BM之间的数量关系；
解决问题：根据△ECA≌△DCB解答即可．

解答 解：（1）∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴CE=CD，CA=CB，∠ECD=∠ACB=60°，
∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠ECA=∠DCB，
在△ECA和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}\\{∠ECA=∠DCB}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴△ECA≌△DCB，
∴∠AEC=∠BDC=120°，
故答案为：120°；
（2）∵△ECA≌△DCB，
∴AE=BD，
故答案为：AE=BD；
拓展探究：∵△DCE是等腰直角三角形，
∠CDE=45°，
∴∠CDB=135°，
由（1）得△ECA≌△DCB，
∴∠CEA=∠CDB=135°，AE=BD，
∵∠CEB=45°，
∴∠AEB=∠CEA-∠CEB=90°，
∵△DCE都是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，
∴CM=EM=MD，
∴CM+AE=BM；
解决问题：∵△DCE是等腰三角形，∠DCE=36°，
∴∠CDE=72°，
∴∠CDB=108°，
∵△ECA≌△DCB，
∴∠CEA=∠CDB=108°，
∴∠EAC+∠ECA=72°，
∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=36°，
∴∠CAB=72°，
∴∠EAB+∠ECB=∠EAC+CAB+∠ECA+∠ACB=72°+72°+36°=180°，
故答案为：180°．

点评 本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形全等是判定和性质，掌握等边三角形的三条边相等、三个角都是60°，等腰直角三角形的两锐角都是45°是解题的关键．