Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点G，过D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点F，交AC于点E．
（1）求证：BD=CD；
（2）若AE=6，BF=4，求⊙O的半径；
（3）在（2）条件下判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得出∠ADB=90°，再由等腰三角形的三线合一性质即可得出结论．
（2）推出△FOD∽△FAE，得出比例式，即可求出半径．
（3）求出∠F=30°，求出∠BOD=60°，得出等边三角形OBD，推出∠ABC=60°，根据等边三角形判定推出即可．

解答 （1）证明：连接AD，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD；
（2）解：设⊙O的半径是R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，
连接OD，如图所示：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴△FOD∽△FAE，
∴$\frac{OD}{AE}=\frac{FO}{FA}$，
∴$\frac{R}{6}=\frac{4+R}{4+2R}$，
即R²-R-12=0，
∵R为半径，
∴R=4，R=-3（舍去），
即⊙O的半径是4．
（3）△ABC是等边三角形；理由：
∵EF是⊙O的切线，
∴OD⊥EF，
∴∠ODF=90°，
∵FO=4+4=8，OD=4，
∴∠F=30°，
∴∠FOD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵AC=AB，
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题是圆的综合题目，考查了相似三角形的性质和判定、切线的性质、等边三角形的性质和判定、圆周角定理、平行线性质、等腰三角形性质的应用等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中需要通过作辅助线证明三角形相似才能得出结果．