Question

【题目】（1）（操作发现）

如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝　 　度．

（2）（解决问题）

①如图2，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．

②如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，若PB＝1，PA＝3，∠BPC＝135°，则PC＝　 　．

（3）（拓展应用）

如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AB＝4，BC＝3，∠ABC＝75°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）65；（2）①；②2；（3）PA+PB+PC的最小值为．

【解析】

（1）【操作发现】：如图1中，根据旋转的性质可得AD＝AB，由等边对等角和三角形内角和定理可求出答案；

（2）【解决问题】

①如图2中，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，只要证明∠PP′C＝90°，利用勾股定理即可解决问题；

②如图3中，将△CBP绕着点C按顺时针方向旋转90°，得到△CAP′，根据旋转的性质可以得到∠P′CP＝∠ACB＝90°，进而得到等腰直角三角形，求出PP'即可得出答案；

（3）【拓展应用】

如图4中，将△APB绕BC顺时针旋转60°，得到△EDB，连接PD、CE．得出∠CBE＝135°，过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，求出CF和EF的长，可求出CE长，则答案可求出．

（1）【操作发现】

解：如图1中，

∵△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，

∴AD＝AB，∠DAB＝50°，

∴＝65°，

故答案为：65．

（2）【解决问题】

①解：如图2中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，

∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，

∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，

∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，

∴PP′＝PC，即AP＝PC，

∵∠APC＝90°，

∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝（）2，

∴PC＝2，

∴AP＝，

∴S△APC＝APPC＝××2＝．

②如图3，将△CBP绕着点C按顺时针方向旋转90°，得到△CAP′，

∵CP′＝CP，∠P′CP＝∠ACB＝90°，

∴△P′CP为等腰直角三角形，

∴∠CP'P＝45°，

∵∠BPC＝135°＝∠AP'C，

∴∠AP′P＝90°，

∵PA＝3，PB＝1，

∴AP′＝1，

∴PP′＝＝＝2，

∴PC＝＝＝2．

故答案为：2．

（3）【拓展应用】

解：如图4中，将△APB绕B顺时针旋转60°，得到△EDB，连接PD、CE．

∵将△APB绕B顺时针旋转60°，得到△EDB，

∴∠ABP＝∠EBD，AB＝EB＝4，∠PBD＝60°，△BPD为等边三角形，AP=DE

∴∠ABP+∠PBC＝∠EBD+∠PBC，PB=PD

∴∠EBD+∠PBC＝∠ABC＝75°，根据两点之间线段最短可得PA+PB+PC=DE＋PD＋PC≤CE，即PA+PB+PC的最小值为CE的长

∴∠CBE＝135°，

过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，

∴∠EBF＝45°，

∴，

在Rt△CFE中，∵∠CFE＝90°，BC＝3，EF＝2，

∴＝

即PA+PB+PC的最小值为．