题目内容
【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O是AD的中点，以O为圆心在AD的下方作半径为3的半圆O，交AD于E、F．
思考：连接BD，交半圆O于G、H，求GH的长；
探究：将线段AF连带半圆O绕点A顺时针旋转，得到半圆O′，设其直径为E'F′，旋转角为α（0＜α＜180°）．
（1）设F′到AD的距离为m，当m＞
时，求α的取值范围；
（2）若半圆O′与线段AB、BC相切时，设切点为R，求
的长．
（sin49°＝
，cos41°＝，tan37°＝，结果保留π）
【答案】思考：GH＝
；探究：（1）α的取值范围为30°＜α＜150°；（2）
或
.
【解析】
思考：作ON⊥BD，证△ADB∽△NDO得
，据此求得ON＝
，再根据勾股定理求得NH的长，继而由GH＝2NH可得答案；
探究：(1)过F′作F′Q⊥AD于Q，分垂足Q落在线段AD上和线段DA延长线上两种情况，利用Rt△AQF′中，sin∠QAF′＝
求得∠QAF′的度数即可得出∠α的范围；
(2)分半圆O′与AB相切和与BC相切两种情况求解，求出
所对圆心角度数即可得出答案．
思考：如图1，过O作ON⊥BD于N，
∴HN＝GN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，
又∵AB＝6，
∴BD＝10，
∵∠BAD＝∠OND＝90°，∠ADB＝∠NDO，
∴△ADB∽△NDO，
∴，
∴ON＝，
连接OH，
∵OH＝3，
∴HN＝
，
∴GH＝2HN＝
；
探究：(1)如图2，过F′作F′Q⊥AD于Q，
当F′到AD的距离为
时，有F′Q＝，
此时
，
所以α＝30°，
如图3，当Q落在DA延长线时，
可求得α＝150°，
所以当m＞时，α的取值范围为30°＜α＜150°；
(2)如图4，当半圆O′与AB相切，切点为R，连接O′R，
∴∠O′RA＝90°，
∵
，
∴∠O′AR＝49°，
∴∠F′O′R＝90°+49°＝139°，
∴的长＝
；
如图5，当半圆O′与BC相切，切点为R，过点O′作O′P⊥AB于P，连接O′R，
∴∠O′RB＝90°，
易得四边形PBRO′是矩形，
∴O′R＝BP＝3，
∴AP＝3，
∴，
∴∠PO'A＝49°，
∴∠RO'F'＝41°，
∴的长＝
，
综上，的长为或.
【题目】已知二次函数
的
与
的部分对应值如下表：
| -1 | 0 | 1 | 3 |
| -3 | 1 | 3 | 1 |
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为
；③当
时，函数值
随
的增大而增大；④方程
有一个根大于4．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C.3个 D．4个
