Question

【题目】在直角坐标系中，已知抛物线(a＜0)与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴负半轴交于点C，顶点为D，已知：S四边形ACBD=1：4．

（1）求点D的坐标(用仅含c的代数式表示)；

（2）若tan∠ACB=，求抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）D(2，)；（2）抛物线的解析式为：，或，或.

【解析】

（1）直接代入顶点坐标公式化简即可；

（2）先由：S四边形ACBD=1：4，得到等底三角形的面积之比：=1：3，而求出，解析式化为，求得A（1,0），B（3,0），过点B作的延长线于点H，得到∽，依据相似的性质、锐角三角函数，用c表示AH、BH，最后在三角形ABH中依据勾股定理求出c，即可得到解析式.

解：（1）抛物线的顶点D的坐标为，

∴顶点D的坐标为(2，)；

（2）∵与y轴负半轴交于点C，

∴C(0，c)，，

过点D作轴于点G，则

∵：S四边形ACBD=1：4,

∴：=1：3,

则，即，

∴，

∴抛物线的解析式为：或，=，，

∴令=0，解得

∴A（1,0），B（3,0），,

过点B作的延长线于点H，

∴(对顶角相等)，

∴∽，tan∠ACB==，,

∴,即，

∴，

∴,

∴,

∴,

∴=0，（）

∴-1或-3或-2+（舍）或-2-，

∴抛物线的解析式为：，或，或.