Question

8．我们知道：x²-6x=（x²-6x+9）-9=（x-3）²-9；-x²+10=-（x²-10x+25）+25=-（x-5）²+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）按上面材料提示的方法填空：a²-4a=a²-4a+4-4=（a-2）²-4．-a²+12a=-（a²-12a+36）+36=-（a-6）²+36．
（2）探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a²-4a的值中是否存在最小值？请说明理由．
（3）应用：如图．已知线段AB=6，M是AB上的一个动点，设AM=x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．

Answer 1

分析 （1）原式配方即可得到结果；
（2）利用非负数的性质确定出结果即可；
（3）根据题意列出S与x的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果．

解答 解：（1）根据题意得：a²-4a=a²-4a+4-4=（a-2）²-4；-a²+12a=-（a²-12a+36）+36=-（a-6）²+36；
故答案为：a²-4a+4-4；（a-2）²-4；-（a²-12a+36）+36；-（a-6）²+36；
（2）∵a²-4a=a²-4a+4-4=（a-2）²-4≥-4，-a²+12a=-（a²-12a+36）+36=-（a-6）²+36≤36，
∴当a=2时，代数式a²-4a存在最小值为-4；
（3）根据题意得：S=x（6-x）=-x²+6x=-（x-3）²+9≤9，
则x=3时，S最大值为9．

点评 此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．