Question

16．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，若AC=6，CD=2，则⊙O的半径$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 首先证明四边形CEOF是正方形．设圆O的半径为r，则DE=2-r，OE=r，然后证明△OED∽△ACD，最后依据相似三角形的性质列方程求解即可．

解答 解：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴OF=OE，OF⊥AC，OE⊥BC，
又∵∠C=90°，
∴CEOF是正方形．
设圆O的半径为r，则DE=2-r，OE=r．
∵CEOF是正方形，
∴OE∥AC．
∴△OED∽△ACD．
∴$\frac{OE}{AC}=\frac{ED}{CD}$即$\frac{r}{6}=\frac{2-r}{2}$．
解得：r=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查的是三角形的内心的性质、相似三角形的性质和判定、正方形的判定、切线的性质，依据相似三角形的性质列出关于r的方程是解题的关键．